动态电路的方程及其初始条件
电动机断路器
1.动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件，其 VCR 是对时间变量 t 的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。
1）电阻电路
图1（a）所示的电阻电路在 t =0 时合上开关，电路中的参数发生了变化。电流 i 随时间的变化情况如图1（b）所示，显然电流从t＜0时的稳定状态直接进入t＞0 后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。
2）电容电路
电流 i 和电容电压uC 随时间的变化情况如图2（c）所示，显然从t＜0 时的稳定状态不是直接进入t＞0后新的稳定状态。说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。
3）电感电路
电流 i 和电感电压uL 随时间的变化情况如图3（c）所示，显然从t＜0时的稳定状态不是直接进入t＞0后新的稳定状态。说明含电感的电路在换路时需要一个过渡期。
从以上分析需要明确的是：
1）换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电路参数变化；
2）含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C ，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间来完成，即：
若 则
3）代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、电流随时间的变化过程。
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件，其 VCR 是对时间变量 t 的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。
下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。
1）电阻电路
|
图 1 （a） |
（b） |
2）电容电路
|
图 2 （a） |
（b） |
| 图2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流 i 和电容电压满足：i=0，uC=0。 t=0 时合上开关，电容充电， 接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，电流 i 和电容电压满足：i=0，uC=US 。 | |
|
图 2 （c） |
3）电感电路
|
图 3 （a） |
（b） |
| 图3(a)所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i 和电感电压满足：i=0，uL=0。 t=0 时合上开关。接通电源很长时间后，电路达到新的稳定状态，电流 i 和电感电压满足：i=0，uL=US/R 。 | |
|
图 3 （c） |
从以上分析需要明确的是：
1）换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电路参数变化；
2）含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C ，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定的时间来完成，即：
若 则
3）代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、电流随时间的变化过程。
2. 动态电路的方程
分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。动态电路方程的建立包括两部分内容：一是应用基尔霍夫定律，二是应用电感和电容的微分或积分的基本特性关系式。下面通过例题给出详细的说明。
设 RC 电路如图4 所示，根据 KVL 列出回路方程为：
由于电容的 VCR 为：
从以上两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程：
若以电流为变量，则有：
对以上方程求导得：
设 RL 电路如图5 所示的，根据 KVL 列出回路方程为：
由于电感的 VCR 为：
以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程：
若以电感电压为变量，则有：
对以上方程求导得：
整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程：
考察上述方程可得以下结论：
（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；
（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而言，若电路中含有 n 个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的，称为 n 阶电路；
（3）描述动态电路的微分方程的一般形式为：
描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程
描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程
高阶电路的方程是高阶微分方程：
方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关。
分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。动态电路方程的建立包括两部分内容：一是应用基尔霍夫定律，二是应用电感和电容的微分或积分的基本特性关系式。下面通过例题给出详细的说明。
|
| |
|
图 4 |
图5 |
由于电容的 VCR 为：
从以上两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程：
若以电流为变量，则有：
对以上方程求导得：
设 RL 电路如图5 所示的，根据 KVL 列出回路方程为：
由于电感的 VCR 为：
以上两式中消去电感电压得以电流为变量的电路方程：
若以电感电压为变量，则有：
对以上方程求导得：
| 对图6 所示的 RLC 电路，根据 KVL 和电容、电感的 VCR 可得方程为： | |
|
图6 |
考察上述方程可得以下结论：
（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；
（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而言，若电路中含有 n 个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的，称为 n 阶电路；
（3）描述动态电路的微分方程的一般形式为：
描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程
描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程
高阶电路的方程是高阶微分方程：
方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关。
3. 电路初始条件的确定
求解微分方程时，解答中的常数需要根据初始条件来确定。由于电路中常以电容电压或电感电流作为变量，因此，相应的微分方程的初始条件为电容电压或电感电流的初始值。
若把电路发生换路的时刻记为 t =0 时刻，换路前一瞬间记为0－，换路后一瞬间记为0＋，则初始条件为t=0＋时u ，i 及其各阶导数的值。
(1)电容电压和电感电流的初始条件
由于电容电压和电感电流是时间的连续函数（参见第一章），所以上两式中的积分项为零，从而有：
对应于
以上式子称为换路定律，它表明：
1） 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。
2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒的体现。
需要明确的是:
1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
2）换路定律反映了能量不能跃变的事实。
（2）电路初始值的确定
根据换路定律可以由电路的uC(0－) 和iL(0－) 确定uC（0+）和iL(0+) 时刻的值 , 电路中其他电流和电压在 t=0+ 时刻的值可以通过 0+ 等效电路求得。求初始值的具体步骤是：
1）由换路前 t=0－时刻的电路（一般为稳定状态）求uC (0－) 或 iL (0－) ；
2）由换路定律得uC (0+) 和iL (0+) ；
3）画 t=0+ 时刻的等效电路： 电容用电压源替代，电感用电流源替代（取 0+ 时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）；
4）由 0+ 电路求所需各变量的 0+ 值。
求解微分方程时，解答中的常数需要根据初始条件来确定。由于电路中常以电容电压或电感电流作为变量，因此，相应的微分方程的初始条件为电容电压或电感电流的初始值。
若把电路发生换路的时刻记为 t =0 时刻，换路前一瞬间记为0－，换路后一瞬间记为0＋，则初始条件为t=0＋时u ，i 及其各阶导数的值。
(1)电容电压和电感电流的初始条件
由于电容电压和电感电流是时间的连续函数（参见第一章），所以上两式中的积分项为零，从而有：
对应于
以上式子称为换路定律，它表明：
1） 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，这是电荷守恒定律的体现。
2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒的体现。
需要明确的是:
1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。
2）换路定律反映了能量不能跃变的事实。
（2）电路初始值的确定
根据换路定律可以由电路的uC(0－) 和iL(0－) 确定uC（0+）和iL(0+) 时刻的值 , 电路中其他电流和电压在 t=0+ 时刻的值可以通过 0+ 等效电路求得。求初始值的具体步骤是：
1）由换路前 t=0－时刻的电路（一般为稳定状态）求uC (0－) 或 iL (0－) ；
2）由换路定律得uC (0+) 和iL (0+) ；
3）画 t=0+ 时刻的等效电路： 电容用电压源替代，电感用电流源替代（取 0+ 时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）；
4）由 0+ 电路求所需各变量的 0+ 值。